SVILUPPO IN SERIE DI MULTIPOLI

Consideriamo una distribuzione di N cariche puntiformi q1,q2,q3,...qN; possiamo stabile il potenziale in corrispondenza di un punto P situato a distanza ri da ciascuna delle cariche.
Consideriamo la seguente figura dove qi indica le generiche cariche puntiformi, per facilitarne lo studio poniamo origine O e tracciamo r, che indica la distanza da O a P e di che indica la distanza da O a qi; inoltre tracciamo l'angolo formato da r e di.

Ora sappiamo che:

applicando la formula di Carnot otteniamo:

spostiamo rì al denominatore:

prendiamo ora la quantità tra parentesi quadra e utilizzando la formula di Taylor (1) otteniamo:

(1):------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

che diventa:

risolvendo gli opportuni calcoli introduciamo il risultato trovato nella formula per trovare 1/ri, quindi:

Infine sostituiamo il risultato nella formula per ricavare il potenziale:

dove Pn rappresenta l'n-esimo polinomio di Legendre.