CIRCUITI RLC

Consideriamo la rete costituita da un'induttanza, una resistenza e un condensatore; questo circuito prende il nome di circuito RLC. Sia Vco la differenza di potenziale tra le armature del condensatore nell'istante iniziale in cui viene chiuso il tasto T. Indichiamo con Vc(t) la differenza di potenziale ai capi del condensatore al tempo generico, abbiamo:

se q(t) indica la carica sul condensatore, Vc(t) vale:

sostituendo nell'equazione principale:

e derivando ambo i membri rispetto a t:

Per integrare questa equazione differenziale poniamo i(t)=λe^αt, α numero complesso, si ha:

ora dividendo tutti i membri per λe^αt si ha:

che ha soluzioni:

dove:

le soluzioni dell'equazione differenziale e^α1t e e^α2t , sono due soluzioni indipendenti e per questo è soluzione anche una loro combinazione lineare:

In base al segno di ∆ possiamo avere diverse soluzioni.

Se ∆>0 abbiamo α1 e α2 numeri reali negativi, la soluzione è la somma di due esponenziali decrescenti:

Se ∆=0 allora α1 e α2 sono reali e coincidenti, così:

Se ∆<0 allora α1 e α2 sono complessi, se poniamo:

possiamo scrivere:

sostituendo nella i(t) 

poniamo:

segue:

indipendentemente al segno di ∆, la corrente i(t) si annulla sempre al limite t che tende ad infinito.