Consideriamo una particella carica q>0 posizionata a distanza r da un filo conduttore attraversato da una corrente I. Supponiamo che sia la particella che il filo siano in quiete in un sistema di riferimento inerziale S. Indichiamo con v la velocità di deriva degli elettroni nel filo. Consideriamo un tratto l generico del filo, all'interno ci sarà un uguale numero di cariche positive e negative che indichiamo con Q, il filo risulterà quindi neutro. Assumiamo che la carica sia distribuita uniformemente, la densità di cariche positive e negative sarà:
abbiamo λ+=|
λ-|.
Indichiamo con E+ il campo elettrico generato dalle cariche positive e con E- il campo elettrico generato dalle cariche negative, il campo elettrico in corrispondenza della carica q, sarà:
quindi non influenza lo stato della particella. La corrente I nel filo è:
con T che rappresenta il tempo utilizzato dagli elettroni per percorrere il tratto l del filo viaggiando a velocità v.
Dalla legge di Biot-Savart il campo magnetico in corrispondenza della particella sarà:
il campo non crea effetti dinamici sulla particella poichè è a riposo.
Consideriamo ora il punto di vista di un osservatore vicino con un sistema di riferimento S' in moto insieme agli elettroni nel filo. La corrente è prodotta dal moto degli ioni positivi del conduttore e la carica q è in moto con velocità v; quindi, sarà soggetta ad una forza F’B di natura magnetica. Se l'accelerazione della particella è nulla nel sistema di riferimento S, lo deve essere anche in S', poichè l'accelerazione è una grandezza invariante in corrispondenza del passaggio da un sistema di riferimento ad un altro in moto rettilineo uniforme rispetto al primo; quindi in S' la particella deve essere soggetta ad un'ulteriore forza tale da annullare la risultante delle forze che agiscono sulla particella. Questa forza deve essere di natura elettrica.
Per vedere di che origine è questa forza consideriamo il filo nel sistema di riferimento S come costituito da due sbarrette lunghe l+ ed l- uguali e pari ad l, una con carica positiva e l'altra con carica negativa, in moto.
Da:
abbiamo:
e deve risultare:
Nel sistema di riferimento S' per poter bilanciare la forza F’B, i campi E'+ ed E'-,
devono essere diversi in modulo e deve risultare:
quindi, deve aversi:
Assumendo che la carica sia la stessa in entrambi i sistemi di riferimento, dalla precedente relazione si ha:
Dove con l+ ed l- indichiamo la lunghezza delle due sbarrette in S'; in questo sistema di riferimento deve risultare:
La forza magnetica F’B nel sistema di riferimento S' ha intensità:
e la forza elettrica F’E ha intensità:
Imponiamo l'uguaglianza tra queste due identità:
essendo c2 =1/(µ0 ε0). Per ottenere l'identità tra i moduli di F’B ed F’E, deve risultare:
questo si avrà se:
cioè se:
quindi:
La sbarretta carica negativamente, a riposo in S', ha lunghezza maggiore rispetto a S, nella quale è in moto; al contrario la sbarretta carica positivamente, in moto in S', ha lunghezza minore rispetto a S, dove si trova a riposo. Per simmetria ipotizziamo che l'entità dell'allungamento di l'- rispetto a l- sia uguale all'entità di contrazione l'+ rispetto a l+. Poniamo:
seguendo l'ipotesi formulata, risulterà:
Poichè in S risulta:
si ha:
che conferma la relazione precedente.
Questo ci dimostra che per mantenere le osservazioni precedenti in tutti e due i sistemi di riferimento dobbiamo necessariamente assumere che le sbarrette in moto abbiamo lunghezza inferiore di un fattore γ rispetto alle stesse sbarrette a riposo.
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