TEOREMI DI LIMITI E CONTINUITA’ IN PIU’ VARIABILI

TEOREMA 1

IPOTESI: 

A contenuto Rⁿ, x₀ appartenente Rⁿ un punto di accumulazione di A, f,g: A --> R due funzioni tali che

            esiste lim_X->X0 f(x)=l appartenente a R,    esiste lim_X->X0 g(x)=m appartenenteR.

TESI:

Allora

1.     esiste lim_X->X0 (f(x) ± g(x))= l ± m;

2.     esiste lim_X->X0 (f(x) · g(x))= l · m;

3.     esiste lim_X->X0 (f(x) / g(x))= l / m purchè m≠0;

TEOREMA SULLA CONTINUITA’ DELLA FUNZIONE COMPOSTA

IPOTESI: 

A contenuto in Rⁿ, B contenuto in R^k, siano f: A->B continua in x₀ appartenente A e g: B -> R^p, continua in y₀ = f(x₀).

TESI:

Allora la funzione composta h= g • f: A -> R^p è continua in x₀.

TEOREMA DI WEIERSTRASS

IPOTESI: 

Sia K un sottoinsieme compatto di Rⁿ e sia f una funzione definita e continua in K.

TESI:

Allora f è dotata di massimo e di minimo in K.

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

IPOTESI: 

Se A contenuto in Rⁿ è connesso ed f: A -> R è continua in A, allora f(A) è un intervallo.

TESI:

Allora f(A) è un intervallo, cioè, per ogni numero reale y compreso tra inf_A f e sup_A f esiste x appartenente ad A tale che f(x)=y.

TEOREMA DI HEINE-CANTOR

IPOTESI: 

Sia K un insieme compatto, ed f: KàR continua in K.

TESI:

Allora f è uniformemente continua in K.

TEOREMA 2

IPOTESI: 

Se f: [a,b] -> Rⁿ è continua.

TESI:

Allora la funzione

                        F(t)= ∫_a ^t f(s) ds, t appartenente ad[a,b]

è derivabile in [a,b], e risulta F’(t) = f(t) per ogni t appartenente ad[a,b].