TEOREMA DEL DIFFERENZIALE
1° IPOTESI:
Sia A un
aperto di Rn ,sia x0 appartenente ad A, e sia f: A->R; le derivate parziali di f esistono in un intorno
di x0 e sono continue in x0.
1° TESI:
Allora f è
differenziabile in x0.
2° IPOTESI:
f è di
classe C1 (A).
2° TESI:
Allora f è
differenziabile in tutti i punti di A.
TEOREMA DEL DIFFERENZIALE DELLA FUNZIONE COMPOSTA
IPOTESI:
I contenuto R un intervallo, A contenuto Rn aperto,
e siano φ: I->A derivabile in I, f:A->R di classe C1(A).
TESI:
Allora la funzione
composta g=f • φ: -> R è derivabile, e per ogni t appartenente ad I risulta:
g’(t)=gradiente di f(φ(t)) · φ’(t)=sommatoria per k che va da j a n di φ(t)) φ’j(t),
dove φ1,......
φn sono le componenti di φ.
TEOREMA 1
IPOTESI:
f ammette
derivate parziali in A, con A contenuo in Rn aperto
connesso per poligonali, e gradiente di f(x0)=0 per ogni x appartenente ad A.
TESI:
Allora f è
costante in A.
TEOREMA DI SCHWARZ
IPOTESI:
f:A->R ammette derivate parziali seconde Dijf
e Djif in un intorno di x0 appartenente ad A ed esse sono continue
in x0.
TESI:
Allora
la derivata parziale seconda di f (x0) / la derivata parziale di Xi per la derivata di Xj = la derivata parziale seconda di f (x0) / la derivata parziale di Xj per la derivata di Xi.
CONSEGUENZE:
Di
conseguenza se f appartenente a C2(A) allora Dijf(x) = Djif(x)
per ogni x appartenente ad A e per ogni i,j=1,...,n.
FORMULA DI TAYLOR DEL SECONDO ORDINE IN PIU’ VARIABILI
IPOTESI:
A contenuto in Rn aperto ed f appartenente a C2(A). Se x0 appartiene ad A ed h è tale che tutto
il segmento [x0, x0 + h] contenuto in A.
TESI:
Allora
f(x0 + h) = f(x0)
+ (sommatoria per j che va da 1 a n della derivata parziale di f(x0)hi / la derivata parziale di xi) +(1/2) (sommatoria per j che va da 1 a n della derivata parziale seconda di f(x0) hihj / la derivata parziale di xi per la derivata parziale di xj) + o(||h||2),
o, in forma vettoriale
f(x0
+ h) = f(x0) + gradiente di f(x0)·h + (1/2) D2 f(x0)h·h
+ o(||h||2).
TEOREMA DELLA CLASSIFICAZIONE DELLE FORME QUADRATICHE CON
GLI AUTOVALORI
IPOTESI:
Sia A una
matrice reale simmetrica, e siano λ1,..., λk i suoi
autovalori distinti.
TESI:
Allora A è:
semidefinita positiva ↔ λi maggiore o uguale 0 i=1,...,k
semidefinita negativa ↔ λi minore o uguale 0 i=1,...,k
definita positiva ↔ λi >0 i=1,...,k
definita negativa ↔ λi <0 i=1,...,k
indefinita ↔ Esiste i,j appartenenti ad {1,...,k} tali che λi >0, λij<0.
CRITERIO DI SYLVESTER
IPOTESI:
Sia A una
matrice reale n x n e siano A(p) i minori di A fatti con le prime p
righe e le prime p colonne.
TESI:
Allora A è
definita positiva se e solo se
det(A(p) ) >0 per ogni p=1,...,n.
La matrice A
è definita negativa se e solo se –A è definita positiva, quindi se e solo se
(-1)pdet (A(p))>0 per ogni p.
TEOREMA 3
IPOTESI:
A contenuto in Rn , x0 appartenente ad A e f: AàR. Se x0 è un punto di estremo
relativo di f, x0 è interno ad A ed f è differenziabile in x0.
TESI:
Allora gradiente di f(x0)=0.
TEOREMA CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI CRITICI
IPOTESI:
A
sottoinsieme aperto di Rn ed f appartiene a C2(A). x0 appartenente ad A è un punto critico di
f.
TESI:
Valgono le seguenti
condizioni necessarie di estremalità:
x0 punto di minimo relativo à D2f(x0)
semidefinita positiva
x0 punto di massimo relativo à D2f(x0)
semidefinita negativa
e le seguenti
condizioni sufficienti:
D2f(x0) definita positiva à x0 punto di minimo relativo
D2f(x0) definita negativa à x0 punto di massimo relativo
D2f(x0) indefinita à x0 punto di sella
TEOREMA CLASSIFICAZIONE DEI PUNTI CRITICI CON GLI
AUTOVALORI
IPOTESI:
A
sottoinsieme aperto di Rn , f appartiene a C2(A) ed x0 appartenente ad A è un punto critico di
f. Siano inoltre λ1,..., λk gli autovalori distinti di D2f(x0).
TESI:
Valgono le seguenti
condizioni necessarie di estremalità:
x0 punto di minimo relativo à λi maggiore o uguale a 0 per ogni i=1,...,k;
x0 punto di massimo relativo à λi minore o uguale a 0 per ogni i=1,...,k;
e le
seguenti condizioni sufficienti:
λi>0 per ogni i=1,...,k à x0 punto di minimo relativo
proprio
λi<0 per ogni i=1,...,k à x0 punto di massimo relativo
proprio
Esiste i,j appartenente ad {1,...,k} tale che λi>0,
λj<0 à x0 punto di sella.
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