TEOREMI SU CURVE ED INTEGRALI DI LINEA

TEOREMA 1

IPOTESI: 

φ:[a,b]àRⁿ curva regolare a tratti.

TESI:

Allora φ è rettificabile, e la sua lunghezza è data da

            l(φ,[a,b])= ∫_a^b||φ’(t)||dt

TEOREMA POTENZIALI

IPOTESI: 

A contenuto in Rⁿ un aperto connesso per poligonali e F:AàRⁿ un campo conservativo in A.

TESI:

Allora:

i)                   Se f e g sono due primitive di F in A esiste c appartenente ad R tale che f= g+c;

ii)                 Se φ:[0,1]àRⁿ è una curva regolare con sostegno contenuto in A risulta:

                                    ∫_φF·dl=f(φ(1))-f(φ(0)),

            dove f è una qualunque primitivadi f in A.

TEOREMA CARATTERIZZAZIONE DEI CAMPI CONSERVATIVI

IPOTESI: 

A contenuto in Rⁿ un aperto connesso e F:AàRⁿ una funzione continua in A.

TESI:

Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

i)                   F è un campo conservativo;

ii)                 Se φ:[0,1]àRⁿ è una curva regolare chiusa con sostegno contenuto in A allora:

                                   ∫_φF·dl=0;

iii)               Se φ e ψ sono due curve regolari con sostegno contenuto in A aventi gli stessi estremi (nell’ordine) allora ∫_φF·dl=∫ _ψ F·dl.