EQUAZIONI DI MAXWELL PER IL CAMPO MAGNETICO STATICO

Assegnata una certa distribuzione di carica stazionaria, descritta attraverso il vettore densità di corrente J, il campo B soddisfa le relazioni:

nella prima equazione C è una generica curva chiusa ed S una superficie che ha come contorno questa curva C; nella seconda equazione S' è una generica superficie chiusa. In forma locale le equazioni si scrivono:

Queste relazioni sono dette equazioni di Maxwell per il campo magnetico statico. 

Maxwell introdusse un vettore A detto potenziale vettore, tale che:

Il potenziale vettore è definito a meno del gradiente di una generica funzione; se consideriamo il nuovo vettore:

dove Φ è una funzione scalare a scelta, si ha:

il campo magnetico derivato da A' coincide con quello derivato da A. Se calcoliamo la divergenza di A' abbiamo:

se scegliamo Φ in modo da soddisfare l'identità:

risulta:

Quindi se in corrispondenza di un certo potenziale vettore A si sceglie la funzione Φ in modo da soddisfare 

il potenziale vettore A' è caratterizzato dall'avere divergenza nulla. La definizione completa di potenziale vettore associato a B è:

Utilizzando queste relazioni possiamo scrivere per il potenziale vettore un'espressione analoga all'equazione di Poisson per il campo elettrico; calcoliamo il rotore di B espresso in A, risulta:

poichè:

si ha:

questa relazione sintetizza le tre equazioni scalari:

dove:

e:

Analogamente al campo elettrico dove la soluzione dell'equazione di Poisson è:

le componenti del potenziale vettore sono:

vettorialmente:

Se il volume d'integrazione è costituito da un filo percorso da una corrente I uguale all'integrale di superficie di J·ds, l'espressione precedente diventa:

dove l'integrale è esteso al circuito L attraversato dalla corrente.